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(2012•绍兴)

把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计).
(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子.
要使折成的长方形盒子的底面积为484cm²，那么剪掉的正方形的边长为多少?
折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值?如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有，说明理由.
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm²，求此时长方形盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况).

解:(1) 设剪掉的正方形的边长为xcm.
则(40-2x)²=484，
即40-2x=±22，
解得x₁=31(不合题意，舍去)，x₂=9，
∴剪掉的正方形的边长为9cm.
侧面积有最大值.
设剪掉的小正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm²，
则y与x的函数关系为:y=4(40-2x)x，
即y=-8x²+160x，
即y=-8(x-10)²+800，
∴x=10时，y_最大=800.
即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm².



(2)在如图的一种剪裁图中，设剪掉的矩形的宽为xcm.
2(40-2x)(20-x)+2x(20-x)+2x(40-2x)=550，
解得:x₁=-35(不合题意，舍去)，x₂=15.
∴剪掉的矩形的宽为15cm.
40-2×15=10(cm)，
20-15=5(cm)，
此时长方体盒子的长为10cm，宽为5cm，高为15cm