2011年高三物理复习--动量守恒定律

2011年高三物理复习--动量守恒定律

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目标认知

学习目标

1.理解动量、动量的变化量的概念，知道动量、动量的变化量都是矢量，会正确计算一维的动量变化。

2.会用牛顿运动定律推导动量守恒定律。

3.理解动量守恒定律的确切含义和表达式，知道定律的适用条件和适用范围，并会用动量守恒定律解决一些简单问题。

学习重点

1.理解动量守恒定律的确切含义和表达式以及简单计算。

2.会用牛顿运动定律推导动量守恒定律。

学习难点

1.动量守恒定律的适用条件和适用范围

2.用动量守恒定律解决问题。

知识要点梳理

知识点一.动量

要点诠释:

1.动量的定义

物体的质量和速度的乘积叫做动量(用符号P表示)。

2. 公式

;单位:

3.方向

动量是矢量，它的方向与速度的方向相同。

知识点二. 动量的变化

要点诠释:

1.动量的变化

某段运动过程(或时间间隔)物体的末动量跟物体的初动量的(矢量)差，称为动量的变化(或动量的增量)，即

2. 动量的变化的方向

动量的变化是矢量，它的方向是由速度的变化方向决定的。

知识点三.系统、内力和外力

要点诠释:

1.系统

相互作用的两个或多个物体组成一个系统。

2.内力

物体之间的相互作用力叫内力。

3.外力

系统以外的物体施加的力叫外力。

知识点四.动量守恒定律

1.推导

以两球碰撞为例:光滑水平面上有两个质量分别是m₁和m₂的小球，分别以速度v₁和v₂(v₁>v₂)做匀速直线运动。当m₁追上m₂时，两小球发生碰撞，设碰后二者的速度分别为v₁ˊ、v₂ˊ。

设水平向右为正方向，它们在发生相互作用(碰撞)前的总动量:p=p₁+p₂=m₁v₁+m₂v₂，在发生相互作用后两球的总动量:pˊ=p₁ˊ+p₂ˊ=m₁v₁ˊ+m₂v₂ˊ。

设碰撞过程中两球相互作用力分别是F₁和F₂，力的作用时间是。

根据牛顿第二定律，碰撞过程中两球的加速度分别为

根据牛顿第三定律，大小相等，方向相反，即

所以

碰撞时两球之间力的作用时间很短，用 表示，这样加速度与碰撞前后速度的关系就是

，代入

整理后可得

或写成

即

这表明两球碰撞前后系统的总动量是相等的。

2.内容

如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为零，这个系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律。

3.表达式

或者 亦或

4.适用条件

①系统不受外力或者所受合外力为零;

②系统所受合外力虽然不为零，但系统的内力远大于外力时，如碰撞、爆炸等现象中，系统的动量可看成近似守恒;

③系统总的来看不符合以上条件的任意一条，则系统的总动量不守恒。但是若系统在某一方向上符合以上条件的任意一条，则系统在该方向上动量守恒。

5.适用范围

它是自然界最普遍、最基本的规律之一。不仅适用于宏观物体的低速运动，也适用与微观物体的高速运动。小到微观粒子，大到宇宙天体，无论内力是什么性质的力，只要满足守恒条件，动量守恒定律总是适用的。

6.动量守恒定律的特点

①矢量性

动量是矢量。动量守恒定律的方程是一个矢量方程。通常规定正方向后，能确定方向的物理量一律将方向表示为“+”或“-”，物理量中只代入大小:不能确定方向的物理量就用字母表示，计算结果为“+”，说明其方向与规定的正方向相同，计算结果为“-”，说明其方向与规定的正方向相反。

②瞬时性

动量是一个瞬时量，动量守恒定律指的是系统任一瞬间的动量和恒定。因此，列出的动量守恒定律表达式m₁v₁+m₂v₂+…=m₁v₁ˊ+m₂v₂ˊ+…，其中v₁，v₂…都是作用前同一时刻的瞬时速度，v₁ˊ，v₂ˊ都是作用后同一时刻的瞬时速度。只要系统满足动量守恒定律的条件，在相互作用过程的任何一个瞬间，系统的总动量都守恒。在具体问题中，可根据任何两个瞬间系统内各物体的动量，列出动量守恒表达式。

③相对性

物体的动量与参考系的选择有关。通常，取地面为参考系，因此，作用前后的速度都必须相对于地面。

规律方法指导

1.动量、动量变化的区别及联系

2.动量变化的大小和方向的讨论

动量的变化 是矢量，因动量的变化(动量的增量)是物体的末动量 跟物体的初动量 的(矢量)差，即 。它的方向是由 和 共同决定的，它的运算符合矢量运算规则，要按平行四边形定则进行。特别是当 与 在一条直线上时，在选定正方向后，动量的方向可用正负号表示，将矢量运算化为代数运算，计算结果为“+”，说明其方向与规定的正方向相同，计算结果为“-”，说明其方向与规定的正方向相反。

3.动量守恒定律的一般解题步骤

①确定研究对象(系统)，进行受力分析:

②确定研究过程，进行运动分析;

③判断系统在所研究的过程中是否满足动量守恒定律成立的条件;

④规定某个方向为正方向，分析初末状态系统的动量;

⑤根据动量守恒定律建立方程，并求出结果。

经典例题透析

类型一-关于动量的理解

1.关于动量的概念下列说法正确的是()

A.动量大的物体惯性一定大

B.动量大的物体运动一定快

C.动量相同的物体运动方向一定相同

D.动量相同的物体速度小的惯性一定大

思路点拨: 理解动量的定义是解此题的关键

解析:物体的动量是由速度和质量两个因素决定的。动量大的物体质量不一定大，惯性也不一定大，A错;同样，动量大的物体速度也不一定大，B错;动量相同指动量的大小和方向均相同，而动量的方向就是物体运动的方向，故动量相同的物体运动方向一定相同，C对;动量相同的物体，速度小的质量大，惯性也大，D对。

答案:CD

总结升华:物体的动量是由速度和质量两个因素决定的;质量是惯性大小的量度

迁移应用

【变式】下列关于动量的说法中正确的是()

A.动量大的物体受到的力一定大

B.动量大的物体一定运动的快

C.动量大的物体的惯性一定大

D.动量大的物体的质量与速度的乘积一定大

解析:由动量的定义式p=mv可知，物体的动量是由物体的质量和速度共同决定的，动量大小与物体是否受力无关，所以A错误的，动量大的物体其速度不一定大即动量大，物体运动的不一定快，所以B错，质量是物体惯性大小的量度，动量大的物体其质量不一定大，即动量大的物体，惯性不一定大，故C错，D是正确的。

答案:D

类型二-关于动量变化的计算

2.一个质量是0.1kg的钢球，以的速度水平向右运动，碰到一个坚硬的障碍物后被弹回，沿着同一直线以 的速度水平向左运动。求碰撞前后钢球的动量有没有变化?变化了多少?

思路点拨:此题为动量变化题目，要分清初末动量。

解析:题中钢球的速度发生了反向，说明速度发生了变化，因此动量必发生变化。

取向左的方向规定为正方向

物体原来的动量:

弹回后物体的动量:

动量的变化:

动量变化量为正值，表示动量变化量的方向向左，大小为1.2kg·m/s。

答案:有变化;变化量方向向左，大小为1.2kg·m/s。

总结升华:动量及动量变化都是矢量，在进行动量变化的计算时应首先规定正方向，这样各矢量中方向与正方向一致的取正值，方向与正方向相反的取负值。从而把矢量运算变成代数加减。

迁移应用

【变式】一个质量为2kg的小球，竖直落地时的速度为10m/s，反向弹地时的速度为8m/s.求小球与地面作用期间发生的动量变化。

解析:取向上为正方向，则竖直落地时的速度，反向弹地的速度。

方向:竖直向上。

答案:;方向竖直向上。

类型三-动量守恒守恒条件的判断

3.位于光滑水平面的小车上放置一螺旋线管，一条形磁铁沿着螺线管的轴线水平地穿过，如图所示。在此过程中()

A.磁铁做匀速运动

B.磁铁和螺线管系统的动量和动能都守恒

C.磁铁和螺线管系统的动量守恒，动能不守恒

D.磁铁和螺线管系统的动量和动能都不守恒

思路点拨:此题考察动量守恒的条件，因此正确理解动量守恒的条件是解决问题的关键。

解析:因磁铁和螺线管组成的系统所受外力之和为零，故动量守恒，但磁铁进入和穿出螺线管的过程中，螺线管都要产生感应电流阻碍磁铁的相对运动，两者相互作用力是变力，且都做功，所以动能不守恒，故选C。

答案:C

总结升华:当系统所受外力之和为零时，动量守恒

类型四-动量守恒定律的简单应用

4.质量的小球在光滑的水平桌面上以的速率向右运动，恰好遇上质量为的小球以的速率向左运动，碰撞后，小球恰好停止，那么碰撞后小球的速率是多大?方向如何?

思路点拨:两球相碰，内力远远大于外力，符合动量守恒条件，故可用动量守恒定律来解决。

解析:设的方向即向右为正方向，则有

根据动量守恒:，

有:

解得:

方向与正方向相反，即向左。

答案: 方向与正方向相反，即向左。

总结升华:运用动量守恒定律解题的方法是:(1)看清是否符合动量守恒条件，(2)恰当选取正方向，(3)根据题意选取恰当的动量守恒定律的表达式，(4)合理进行运算，得出最后结果。

迁移应用

【变式】质量为20g的小球A以的速度向东运动，某时刻和在同一直线上运动小球B迎面正碰。B球的质量为50g。碰撞前的速度为，方向向西，碰撞后，A球以的速度向西返回，求碰后B球的速度。

解析:A、B两球的正碰过程符合动量守恒定律，设向东为正方向，

根据动量守恒定律有:

，负号说明碰后B球的速度方向向西。

答案:0.4m/s，方向向西。

类型五-若系统所受外力之和不为零，但如果某一方向上的外力之和为零，则在该方向上的动量守恒

5.小型迫击炮在总质量为1000kg的船上发射，炮弹的质量为2kg.若炮弹飞离炮口时相对于地面的速度为600m/s，且速度跟水平面成45°角，求发射炮弹后小船后退的速度?

思路点拨:取炮弹和小船组成的系统为研究对象，在发射炮弹的过程中，炮弹和炮身(炮和船视为固定在一起)的作用力为内力.系统受到的外力有炮弹和船的重力、水对船的浮力.在船静止的情况下， 重力和浮力相等，但在发射炮弹时，浮力要大于重力.因此，在垂直方向上，系统所受到的合外力不为零，但在水平方向上系统不受外力(不计水的阻力)，故在该方向上动量守恒.

解析:发射炮弹前，总质量为1000kg的船静止，则总动量Mv=0.

发射炮弹后，炮弹在水平方向的动量为mv₁ˊcos45°，船后退的动量(M-m)v₂ˊ.

答案:

总结升华:若系统所受外力之和不为零，则系统的总动量不守恒，但如果某一方向上的外力之和为零，则该方向上的动量仍然守恒，仍可以应用动量守恒定律。

迁移应用

【变式】一门旧式大炮，炮身的质量为M，射出炮弹的质量为m，对地的速度为，方向与水平方向成角，若不计炮身与水平地面的摩擦，则炮身后退速度的大小为()

A. B. C. D.

解析:竖直方向动量不守恒，水平方向动量仍守恒，即在水平方向利用动量守恒定律:

答案:B

类型六-动量守恒在多个物体组成的系统中的应用

6.如图所示在光滑的水平面上有静止的两木块A和B，，它们的上表面是粗糙的，今有一铁块C，其质量以初速度沿两木块表面滑过，最后停在B上，此时B、C的共同速度。求:

(1)A的速度?

(2)C刚离开A时的速度?

解析:

(1)选A、B、C组成的系统为研究对象，对整个过程运用动量守恒定律，有

可求得A运动的速度:

(2)C离开A后，A做匀速运动，C刚离开A时A、B 具有共同速度 ，仍选A、B、C组成的系统为研究对象，研究C从A的上表面滑过的过程，根据动量守恒定律，有

可求得C刚离开A时的速度

答案:(1)(2)

总结升华:此题为多个物体组成的系统，由于物体较多相互作用的情况也不尽相同，作用过程较为复杂，虽然仍可对初末状态建立动量守恒的关系式，但因未知条件过多而无法求解，这时往往要根据作用过程中的不同阶段，建立多个动量守恒方程，或将系统内的物体按作用的关系分别建立动量守恒定律方程。

迁移应用

【变式1】质量为的小船以 的速度自西向东行驶，忽略阻力。船上有两个皆为的运动员，若运动员甲首先沿水平方向以(相对于静止水面)的速度向东跃入水中，然后运动员乙沿水平方向以同一速度向西(相对于静止水面)跃入水中。则二人跳出后小船的速度为()

A.向东 B.等于0 C.向东 D.

解析:系统不受外力，符合动量守恒。

设向东为正方向，由动量守恒:

方向向东。

答案:C

【变式2】一平板小车静止在光滑水平面上，车的右端安有一竖直的板壁，车的左端站有一持枪的人，此人水平持枪向板壁连续射击，子弹全部嵌在板壁内未穿出，过一段时间后停止射击。则()

A.停止射击后小车的速度为零

B.射击过程中小车未移动

C.停止射击后，小车在射击之前位置的左方

D.停止射击后，小车在射击之前位置的右方

解析:在发射子弹的过程中，小车、人、枪及子弹组成的系统动量守恒，因此，停止射击后小车的速度为零，选项A正确。

每一次射击过程子弹向右运动时，小车都向左运动，因此停止射击后，小车在射击之前位置的左方，选项C正确。

答案:A、C。

类型七-动量守恒与能量守恒的结合

7.在光滑的水平面上有一质量为的木板A，其右端挡板上固定一根轻质弹簧，在靠近木板左端的P处有一大小忽略不计、质量为的滑块B。木板上Q处的左侧粗糙，右侧光滑。且PQ间距离，如图所示。某时刻木板以的速度向左滑行，同时滑块B以速度向右滑行，当滑块B与P相距时，二者刚好处于相对静止状态，若二者共同运动方向的前方有一障碍物，木板A与它碰后以原速率反弹(碰后立即撤去障碍物)。求B与A的粗糙面之间的摩擦因数和滑块B最终停在木板上的位置。(g取)

思路点拨:此题动量与能量结合的题目，既要考虑动量守恒又要考虑能量守恒

解析:设M、m共同速度为 ，，选向右运动方向为正方向，由动量守恒定律得

对A、B组成系统，由能量守恒得

木板A与障碍物发生碰撞后以原速率反弹，假设B向右滑行并与弹簧发生相互作用，当A、B再次处于相对静止状态时，两者的共同速度为，在此过程中，A、B和弹簧组成的系统动量守恒、能量守恒。

由动量守恒得

设B相对A的路程为，由能量守恒得

由于，所以滑过Q点并与弹簧相互作用，然后相对A向左滑动到Q点的左边，设离Q点距离为，则

答案:A、B间的摩擦因数为0.6，滑块B最终停在木板上Q点左侧离Q点0.17m处

总结升华:本题是一道综合性很强的题目，要求同学对物理过程的分析要详细，会挖掘条件。同时对动量守恒定律、能量守恒定律的理解极高，正确使用这些规律解题是学生物理能力的试金石。

迁移应用

【变式1】如图所示，质量分别为m和2m的A、B两个木块间用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，A靠紧竖直墙.用水平力F将B向左压，使弹簧被压缩一定长度，静止后弹簧储存的弹性势能为E.这时突然撤去F，关于A、B和弹簧组成的系统，下列说法中正确的是( )

A.撤去F后，系统动量守恒，机械能守恒

B.撤去F后，A离开竖直墙前，系统动量不守恒，机械能守恒

C.撤去F后，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为E

D.撤去F后，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为E/3

解析:A离开墙前墙对A有弹力，这个弹力虽然不做功，但对A有冲量，因此系统机械能守恒而动量不守恒;A离开墙后则系统动量守恒、机械能守恒.A刚离开墙时刻，B的动能为E，动量为p=向右;以后动量守恒，因此系统动能不可能为零，当A、B速度相等时，系统总动能最小，这时的弹性势能为E/3.

答案: BD

【变式2】在原子核物理中，研究核子与核关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似。两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度射向B球，如图所示。C与B发生碰撞并立即结成一个整体D。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定(锁定及解除锁定均无机械能损失)。已知A、B、C三球的质量均为m。

(1)求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。

(2)求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

解析:

(1)设C球与B球粘结成D时，D的速度为 ，由动量守恒，有

①

当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为，由动量守恒，有

②

由①、②两式得A的速度

(2)设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为，由能量守恒，有

撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，

势能全部转变成D的动能，设D的速度为，则有

当弹簧伸长时，A球离开挡板P，并获得速度。当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长。

设此时的速度为，由动量守恒，有

当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为，由能量守恒，有

解以上各式得